К концу пребывания в Голландии у Декарта возникает идея создания новой науки, науки, задуманной им в виде «Универсальной» или «Всеобщей Математики». В ее основу положено движение, понимание которого в корне отличается от понимания движения античными и средневековыми математиками и философами. Как видно из его письма Бекману, это «совершенно новая наука, которая позволила бы общим образом разрешать все проблемы» с помощью линий, проводимых единым движением с помощью «новых циркулей».
Основным средством реализации плана создания новой науки являются механические приборы — шарнирные устройства, именуемые Декартом «циркулями». Весной 1619 года Декарт покидает Голландию и отправляется во Франкфурт, где присутствует на коронации вновь избранного императора Фердинанда II. Вскоре после коронации в Германии образовалась католическая лига для войны с чешскими протестантами. Декарт вступает в армию вождя лиги герцога Баварского, и отправляется на зимние квартиры на границе Германии.
В старинный германский город Ульм Декарт попал в самый разгар дискуссии по поводу комет, которую вели И. Б. Хебенштрайт, ректор гимназии и профессор инженерного училища И. Фаульхабер, и в скором времени знакомится и с тем, и с другим.
В конце сентября — начале октября начались его регулярные встречи и беседы с Фаульхабером, длившиеся в течение многих месяцев 1619–1620 годов. Немецкий ученый-инженер Фаульхабер значительно усовершенствовал передаточные механизмы различных типов мельниц. Он был одним из конструкторов машин и универсальных двигателей, которые создавались в Германии, а применялись в Голландии. Декарт вновь продемонстрировал несомненное превосходство во всем, что касалось математики. Осенью, в годовщину встречи с Бекманом, Декарт записывает: «X ноября 1619 года, преисполненный энтузиазма, я нашел основания чудесной науки» а ровно год спустя он уже смог констатировать «XI ноября 1620 года начал понимать основание чудесного открытия».
Несомненно, речь идет об открытии основ аналитической геометрии. Декарт видел своей задачей не только и даже не столько сочинение теоретических трудов, он стремился сочинить, продуманно построить собственную жизнь. Он сумел сам, почти до последней минуты, методически организовать свою судьбу в соответствии с тем замыслом, который окончательно сформировался в момент Ульмского «озарения» 10 ноября 1619 года, во время одного из трех знаменитых снов в ночь с 10 на 11 ноября 1619 года в не менее знаменитом с тех пор ульмском убежище Декарта.
